3.55 \(\int \csc ^2(a+b x) \csc ^3(2 a+2 b x) \, dx\)

Optimal. Leaf size=60 \[ \frac {\tan ^2(a+b x)}{16 b}-\frac {\cot ^4(a+b x)}{32 b}-\frac {3 \cot ^2(a+b x)}{16 b}+\frac {3 \log (\tan (a+b x))}{8 b} \]

[Out]

-3/16*cot(b*x+a)^2/b-1/32*cot(b*x+a)^4/b+3/8*ln(tan(b*x+a))/b+1/16*tan(b*x+a)^2/b

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.07, antiderivative size = 60, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 5, number of rules used = 4, integrand size = 20, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.200, Rules used = {4288, 2620, 266, 43} \[ \frac {\tan ^2(a+b x)}{16 b}-\frac {\cot ^4(a+b x)}{32 b}-\frac {3 \cot ^2(a+b x)}{16 b}+\frac {3 \log (\tan (a+b x))}{8 b} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Csc[a + b*x]^2*Csc[2*a + 2*b*x]^3,x]

[Out]

(-3*Cot[a + b*x]^2)/(16*b) - Cot[a + b*x]^4/(32*b) + (3*Log[Tan[a + b*x]])/(8*b) + Tan[a + b*x]^2/(16*b)

Rule 43

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a + b*x)^m*(c + d
*x)^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[m, 0] && ( !IntegerQ[n] || (EqQ[c, 0]
&& LeQ[7*m + 4*n + 4, 0]) || LtQ[9*m + 5*(n + 1), 0] || GtQ[m + n + 2, 0])

Rule 266

Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Dist[1/n, Subst[Int[x^(Simplify[(m + 1)/n] - 1)*(a
+ b*x)^p, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, m, n, p}, x] && IntegerQ[Simplify[(m + 1)/n]]

Rule 2620

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_.), x_Symbol] :> Dist[1/f, Subst[Int[(1 + x^2)^((
m + n)/2 - 1)/x^m, x], x, Tan[e + f*x]], x] /; FreeQ[{e, f}, x] && IntegersQ[m, n, (m + n)/2]

Rule 4288

Int[((f_.)*sin[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(n_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(p_.), x_Symbol] :> Dist[2^p/f^p, Int[Cos[a
+ b*x]^p*(f*Sin[a + b*x])^(n + p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, f, n}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[d/b, 2]
&& IntegerQ[p]

Rubi steps

\begin {align*} \int \csc ^2(a+b x) \csc ^3(2 a+2 b x) \, dx &=\frac {1}{8} \int \csc ^5(a+b x) \sec ^3(a+b x) \, dx\\ &=\frac {\operatorname {Subst}\left (\int \frac {\left (1+x^2\right )^3}{x^5} \, dx,x,\tan (a+b x)\right )}{8 b}\\ &=\frac {\operatorname {Subst}\left (\int \frac {(1+x)^3}{x^3} \, dx,x,\tan ^2(a+b x)\right )}{16 b}\\ &=\frac {\operatorname {Subst}\left (\int \left (1+\frac {1}{x^3}+\frac {3}{x^2}+\frac {3}{x}\right ) \, dx,x,\tan ^2(a+b x)\right )}{16 b}\\ &=-\frac {3 \cot ^2(a+b x)}{16 b}-\frac {\cot ^4(a+b x)}{32 b}+\frac {3 \log (\tan (a+b x))}{8 b}+\frac {\tan ^2(a+b x)}{16 b}\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [A]  time = 0.36, size = 54, normalized size = 0.90 \[ -\frac {\csc ^4(a+b x)+4 \csc ^2(a+b x)-2 \sec ^2(a+b x)-12 \log (\sin (a+b x))+12 \log (\cos (a+b x))}{32 b} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[Csc[a + b*x]^2*Csc[2*a + 2*b*x]^3,x]

[Out]

-1/32*(4*Csc[a + b*x]^2 + Csc[a + b*x]^4 + 12*Log[Cos[a + b*x]] - 12*Log[Sin[a + b*x]] - 2*Sec[a + b*x]^2)/b

________________________________________________________________________________________

fricas [B]  time = 0.51, size = 138, normalized size = 2.30 \[ \frac {6 \, \cos \left (b x + a\right )^{4} - 9 \, \cos \left (b x + a\right )^{2} - 6 \, {\left (\cos \left (b x + a\right )^{6} - 2 \, \cos \left (b x + a\right )^{4} + \cos \left (b x + a\right )^{2}\right )} \log \left (\cos \left (b x + a\right )^{2}\right ) + 6 \, {\left (\cos \left (b x + a\right )^{6} - 2 \, \cos \left (b x + a\right )^{4} + \cos \left (b x + a\right )^{2}\right )} \log \left (-\frac {1}{4} \, \cos \left (b x + a\right )^{2} + \frac {1}{4}\right ) + 2}{32 \, {\left (b \cos \left (b x + a\right )^{6} - 2 \, b \cos \left (b x + a\right )^{4} + b \cos \left (b x + a\right )^{2}\right )}} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csc(b*x+a)^2*csc(2*b*x+2*a)^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

1/32*(6*cos(b*x + a)^4 - 9*cos(b*x + a)^2 - 6*(cos(b*x + a)^6 - 2*cos(b*x + a)^4 + cos(b*x + a)^2)*log(cos(b*x
+ a)^2) + 6*(cos(b*x + a)^6 - 2*cos(b*x + a)^4 + cos(b*x + a)^2)*log(-1/4*cos(b*x + a)^2 + 1/4) + 2)/(b*cos(b
*x + a)^6 - 2*b*cos(b*x + a)^4 + b*cos(b*x + a)^2)

________________________________________________________________________________________

giac [B]  time = 3.36, size = 2808, normalized size = 46.80 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csc(b*x+a)^2*csc(2*b*x+2*a)^3,x, algorithm="giac")

[Out]

1/64*((12*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^23 - tan(1/2*a)^24 + 11664*tan(b*x + 4*a)^2*tan(1/2*a)^20 - 4036*tan(b*x +
4*a)*tan(1/2*a)^21 + 384*tan(1/2*a)^22 - 155520*tan(b*x + 4*a)^2*tan(1/2*a)^18 + 96852*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2
*a)^19 - 11994*tan(1/2*a)^20 + 824256*tan(b*x + 4*a)^2*tan(1/2*a)^16 - 781884*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^17 + 1
50592*tan(1/2*a)^18 - 2194560*tan(b*x + 4*a)^2*tan(1/2*a)^14 + 2930936*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^15 - 827919*t
an(1/2*a)^16 + 3065184*tan(b*x + 4*a)^2*tan(1/2*a)^12 - 5623464*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^13 + 2209344*tan(1/2
*a)^14 - 2194560*tan(b*x + 4*a)^2*tan(1/2*a)^10 + 5623464*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^11 - 3036716*tan(1/2*a)^12
+ 824256*tan(b*x + 4*a)^2*tan(1/2*a)^8 - 2930936*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^9 + 2209344*tan(1/2*a)^10 - 155520
*tan(b*x + 4*a)^2*tan(1/2*a)^6 + 781884*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^7 - 827919*tan(1/2*a)^8 + 11664*tan(b*x + 4*
a)^2*tan(1/2*a)^4 - 96852*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^5 + 150592*tan(1/2*a)^6 + 4036*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^3
- 11994*tan(1/2*a)^4 - 12*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a) + 384*tan(1/2*a)^2 - 1)/((9*tan(1/2*a)^10 - 60*tan(1/2*a)
^8 + 118*tan(1/2*a)^6 - 60*tan(1/2*a)^4 + 9*tan(1/2*a)^2)*(6*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^5 - tan(1/2*a)^6 - 20*t
an(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^3 + 15*tan(1/2*a)^4 + 6*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a) - 15*tan(1/2*a)^2 + 1)^2) - 2*(25*t
an(b*x + 4*a)^4*tan(1/2*a)^48 - 3000*tan(b*x + 4*a)^4*tan(1/2*a)^46 + 528*tan(b*x + 4*a)^3*tan(1/2*a)^47 + 6*t
an(b*x + 4*a)^2*tan(1/2*a)^48 + 160500*tan(b*x + 4*a)^4*tan(1/2*a)^44 - 60656*tan(b*x + 4*a)^3*tan(1/2*a)^45 +
4032*tan(b*x + 4*a)^2*tan(1/2*a)^46 + 48*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^47 + tan(1/2*a)^48 - 5040200*tan(b*x + 4*a
)^4*tan(1/2*a)^42 + 2998224*tan(b*x + 4*a)^3*tan(1/2*a)^43 - 459720*tan(b*x + 4*a)^2*tan(1/2*a)^44 + 13808*tan
(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^45 + 96*tan(1/2*a)^46 + 102947250*tan(b*x + 4*a)^4*tan(1/2*a)^40 - 84754224*tan(b*x + 4
*a)^3*tan(1/2*a)^41 + 20740800*tan(b*x + 4*a)^2*tan(1/2*a)^42 - 1553616*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^43 + 17940*t
an(1/2*a)^44 - 1432641000*tan(b*x + 4*a)^4*tan(1/2*a)^38 + 1525423600*tan(b*x + 4*a)^3*tan(1/2*a)^39 - 5182429
32*tan(b*x + 4*a)^2*tan(1/2*a)^40 + 62627184*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^41 - 1976672*tan(1/2*a)^42 + 1385086570
0*tan(b*x + 4*a)^4*tan(1/2*a)^36 - 18347115792*tan(b*x + 4*a)^3*tan(1/2*a)^37 + 8061782976*tan(b*x + 4*a)^2*ta
n(1/2*a)^38 - 1352088880*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^39 + 69043458*tan(1/2*a)^40 - 93424383000*tan(b*x + 4*a)^4*
tan(1/2*a)^34 + 150554954928*tan(b*x + 4*a)^3*tan(1/2*a)^35 - 82205969064*tan(b*x + 4*a)^2*tan(1/2*a)^36 + 177
73339152*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^37 - 1252335840*tan(1/2*a)^38 + 438276972375*tan(b*x + 4*a)^4*tan(1/2*a)^32
- 849352828496*tan(b*x + 4*a)^3*tan(1/2*a)^33 + 563338964160*tan(b*x + 4*a)^2*tan(1/2*a)^34 - 150682961328*ta
n(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^35 + 13569524420*tan(1/2*a)^36 - 1429067476400*tan(b*x + 4*a)^4*tan(1/2*a)^30 + 331251
8959776*tan(b*x + 4*a)^3*tan(1/2*a)^31 - 2637116003430*tan(b*x + 4*a)^2*tan(1/2*a)^32 + 853300409104*tan(b*x +
4*a)*tan(1/2*a)^33 - 94325029920*tan(1/2*a)^34 + 3274543905000*tan(b*x + 4*a)^4*tan(1/2*a)^28 - 9029526276960
*tan(b*x + 4*a)^3*tan(1/2*a)^29 + 8569312295808*tan(b*x + 4*a)^2*tan(1/2*a)^30 - 3315261850656*tan(b*x + 4*a)*
tan(1/2*a)^31 + 440742337263*tan(1/2*a)^32 - 5348018130000*tan(b*x + 4*a)^4*tan(1/2*a)^26 + 17444688475680*tan
(b*x + 4*a)^3*tan(1/2*a)^27 - 19627171727760*tan(b*x + 4*a)^2*tan(1/2*a)^28 + 9019269429600*tan(b*x + 4*a)*tan
(1/2*a)^29 - 1427485388352*tan(1/2*a)^30 + 6290345645500*tan(b*x + 4*a)^4*tan(1/2*a)^24 - 24168979539936*tan(b
*x + 4*a)^3*tan(1/2*a)^25 + 32090952253824*tan(b*x + 4*a)^2*tan(1/2*a)^26 - 17435372647456*tan(b*x + 4*a)*tan(
1/2*a)^27 + 3267744813864*tan(1/2*a)^28 - 5348018130000*tan(b*x + 4*a)^4*tan(1/2*a)^22 + 24168979539936*tan(b*
x + 4*a)^3*tan(1/2*a)^23 - 37769347277400*tan(b*x + 4*a)^2*tan(1/2*a)^24 + 24182504468064*tan(b*x + 4*a)*tan(1
/2*a)^25 - 5348887137216*tan(1/2*a)^26 + 3274543905000*tan(b*x + 4*a)^4*tan(1/2*a)^20 - 17444688475680*tan(b*x
+ 4*a)^3*tan(1/2*a)^21 + 32090952253824*tan(b*x + 4*a)^2*tan(1/2*a)^22 - 24182504468064*tan(b*x + 4*a)*tan(1/
2*a)^23 + 6299635484700*tan(1/2*a)^24 - 1429067476400*tan(b*x + 4*a)^4*tan(1/2*a)^18 + 9029526276960*tan(b*x +
4*a)^3*tan(1/2*a)^19 - 19627171727760*tan(b*x + 4*a)^2*tan(1/2*a)^20 + 17435372647456*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*
a)^21 - 5348887137216*tan(1/2*a)^22 + 438276972375*tan(b*x + 4*a)^4*tan(1/2*a)^16 - 3312518959776*tan(b*x + 4*
a)^3*tan(1/2*a)^17 + 8569312295808*tan(b*x + 4*a)^2*tan(1/2*a)^18 - 9019269429600*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^19
+ 3267744813864*tan(1/2*a)^20 - 93424383000*tan(b*x + 4*a)^4*tan(1/2*a)^14 + 849352828496*tan(b*x + 4*a)^3*ta
n(1/2*a)^15 - 2637116003430*tan(b*x + 4*a)^2*tan(1/2*a)^16 + 3315261850656*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^17 - 1427
485388352*tan(1/2*a)^18 + 13850865700*tan(b*x + 4*a)^4*tan(1/2*a)^12 - 150554954928*tan(b*x + 4*a)^3*tan(1/2*a
)^13 + 563338964160*tan(b*x + 4*a)^2*tan(1/2*a)^14 - 853300409104*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^15 + 440742337263*
tan(1/2*a)^16 - 1432641000*tan(b*x + 4*a)^4*tan(1/2*a)^10 + 18347115792*tan(b*x + 4*a)^3*tan(1/2*a)^11 - 82205
969064*tan(b*x + 4*a)^2*tan(1/2*a)^12 + 150682961328*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^13 - 94325029920*tan(1/2*a)^14
+ 102947250*tan(b*x + 4*a)^4*tan(1/2*a)^8 - 1525423600*tan(b*x + 4*a)^3*tan(1/2*a)^9 + 8061782976*tan(b*x + 4*
a)^2*tan(1/2*a)^10 - 17773339152*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^11 + 13569524420*tan(1/2*a)^12 - 5040200*tan(b*x +
4*a)^4*tan(1/2*a)^6 + 84754224*tan(b*x + 4*a)^3*tan(1/2*a)^7 - 518242932*tan(b*x + 4*a)^2*tan(1/2*a)^8 + 13520
88880*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^9 - 1252335840*tan(1/2*a)^10 + 160500*tan(b*x + 4*a)^4*tan(1/2*a)^4 - 2998224*
tan(b*x + 4*a)^3*tan(1/2*a)^5 + 20740800*tan(b*x + 4*a)^2*tan(1/2*a)^6 - 62627184*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^7
+ 69043458*tan(1/2*a)^8 - 3000*tan(b*x + 4*a)^4*tan(1/2*a)^2 + 60656*tan(b*x + 4*a)^3*tan(1/2*a)^3 - 459720*ta
n(b*x + 4*a)^2*tan(1/2*a)^4 + 1553616*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^5 - 1976672*tan(1/2*a)^6 + 25*tan(b*x + 4*a)^4
- 528*tan(b*x + 4*a)^3*tan(1/2*a) + 4032*tan(b*x + 4*a)^2*tan(1/2*a)^2 - 13808*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^3 +
17940*tan(1/2*a)^4 + 6*tan(b*x + 4*a)^2 - 48*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a) + 96*tan(1/2*a)^2 + 1)/((tan(1/2*a)^24
- 60*tan(1/2*a)^22 + 1410*tan(1/2*a)^20 - 16204*tan(1/2*a)^18 + 92655*tan(1/2*a)^16 - 245880*tan(1/2*a)^14 + 3
36156*tan(1/2*a)^12 - 245880*tan(1/2*a)^10 + 92655*tan(1/2*a)^8 - 16204*tan(1/2*a)^6 + 1410*tan(1/2*a)^4 - 60*
tan(1/2*a)^2 + 1)*(tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^6 - 15*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^4 + 6*tan(1/2*a)^5 + 15*tan(b*x
+ 4*a)*tan(1/2*a)^2 - 20*tan(1/2*a)^3 - tan(b*x + 4*a) + 6*tan(1/2*a))^4) + 24*log(abs(tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*
a)^6 - 15*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^4 + 6*tan(1/2*a)^5 + 15*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^2 - 20*tan(1/2*a)^3 - ta
n(b*x + 4*a) + 6*tan(1/2*a))) - 24*log(abs(6*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^5 - tan(1/2*a)^6 - 20*tan(b*x + 4*a)*ta
n(1/2*a)^3 + 15*tan(1/2*a)^4 + 6*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a) - 15*tan(1/2*a)^2 + 1)))/b

________________________________________________________________________________________

maple [A]  time = 0.86, size = 69, normalized size = 1.15 \[ -\frac {1}{32 b \sin \left (b x +a \right )^{4} \cos \left (b x +a \right )^{2}}+\frac {3}{32 b \sin \left (b x +a \right )^{2} \cos \left (b x +a \right )^{2}}-\frac {3}{16 b \sin \left (b x +a \right )^{2}}+\frac {3 \ln \left (\tan \left (b x +a \right )\right )}{8 b} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(csc(b*x+a)^2*csc(2*b*x+2*a)^3,x)

[Out]

-1/32/b/sin(b*x+a)^4/cos(b*x+a)^2+3/32/b/sin(b*x+a)^2/cos(b*x+a)^2-3/16/b/sin(b*x+a)^2+3/8*ln(tan(b*x+a))/b

________________________________________________________________________________________

maxima [B]  time = 0.45, size = 3188, normalized size = 53.13 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csc(b*x+a)^2*csc(2*b*x+2*a)^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

1/16*(4*(3*cos(10*b*x + 10*a) - 6*cos(8*b*x + 8*a) - 2*cos(6*b*x + 6*a) - 6*cos(4*b*x + 4*a) + 3*cos(2*b*x + 2
*a))*cos(12*b*x + 12*a) + 4*(9*cos(8*b*x + 8*a) + 16*cos(6*b*x + 6*a) + 9*cos(4*b*x + 4*a) - 12*cos(2*b*x + 2*
a) + 3)*cos(10*b*x + 10*a) - 24*cos(10*b*x + 10*a)^2 - 4*(22*cos(6*b*x + 6*a) - 12*cos(4*b*x + 4*a) - 9*cos(2*
b*x + 2*a) + 6)*cos(8*b*x + 8*a) + 24*cos(8*b*x + 8*a)^2 - 8*(11*cos(4*b*x + 4*a) - 8*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*co
s(6*b*x + 6*a) - 32*cos(6*b*x + 6*a)^2 + 12*(3*cos(2*b*x + 2*a) - 2)*cos(4*b*x + 4*a) + 24*cos(4*b*x + 4*a)^2
- 24*cos(2*b*x + 2*a)^2 + 3*(2*(2*cos(10*b*x + 10*a) + cos(8*b*x + 8*a) - 4*cos(6*b*x + 6*a) + cos(4*b*x + 4*a
) + 2*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*cos(12*b*x + 12*a) - cos(12*b*x + 12*a)^2 - 4*(cos(8*b*x + 8*a) - 4*cos(6*b*x + 6*
a) + cos(4*b*x + 4*a) + 2*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*cos(10*b*x + 10*a) - 4*cos(10*b*x + 10*a)^2 + 2*(4*cos(6*b*x +
6*a) - cos(4*b*x + 4*a) - 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*cos(8*b*x + 8*a) - cos(8*b*x + 8*a)^2 + 8*(cos(4*b*x + 4*a)
+ 2*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*cos(6*b*x + 6*a) - 16*cos(6*b*x + 6*a)^2 - 2*(2*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*cos(4*b*x + 4
*a) - cos(4*b*x + 4*a)^2 - 4*cos(2*b*x + 2*a)^2 + 2*(2*sin(10*b*x + 10*a) + sin(8*b*x + 8*a) - 4*sin(6*b*x + 6
*a) + sin(4*b*x + 4*a) + 2*sin(2*b*x + 2*a))*sin(12*b*x + 12*a) - sin(12*b*x + 12*a)^2 - 4*(sin(8*b*x + 8*a) -
4*sin(6*b*x + 6*a) + sin(4*b*x + 4*a) + 2*sin(2*b*x + 2*a))*sin(10*b*x + 10*a) - 4*sin(10*b*x + 10*a)^2 + 2*(
4*sin(6*b*x + 6*a) - sin(4*b*x + 4*a) - 2*sin(2*b*x + 2*a))*sin(8*b*x + 8*a) - sin(8*b*x + 8*a)^2 + 8*(sin(4*b
*x + 4*a) + 2*sin(2*b*x + 2*a))*sin(6*b*x + 6*a) - 16*sin(6*b*x + 6*a)^2 - sin(4*b*x + 4*a)^2 - 4*sin(4*b*x +
4*a)*sin(2*b*x + 2*a) - 4*sin(2*b*x + 2*a)^2 + 4*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*log(cos(2*b*x)^2 + 2*cos(2*b*x)*cos(2*a
) + cos(2*a)^2 + sin(2*b*x)^2 - 2*sin(2*b*x)*sin(2*a) + sin(2*a)^2) - 3*(2*(2*cos(10*b*x + 10*a) + cos(8*b*x +
8*a) - 4*cos(6*b*x + 6*a) + cos(4*b*x + 4*a) + 2*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*cos(12*b*x + 12*a) - cos(12*b*x + 12*a
)^2 - 4*(cos(8*b*x + 8*a) - 4*cos(6*b*x + 6*a) + cos(4*b*x + 4*a) + 2*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*cos(10*b*x + 10*a)
- 4*cos(10*b*x + 10*a)^2 + 2*(4*cos(6*b*x + 6*a) - cos(4*b*x + 4*a) - 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*cos(8*b*x + 8*a
) - cos(8*b*x + 8*a)^2 + 8*(cos(4*b*x + 4*a) + 2*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*cos(6*b*x + 6*a) - 16*cos(6*b*x + 6*a)^
2 - 2*(2*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*cos(4*b*x + 4*a) - cos(4*b*x + 4*a)^2 - 4*cos(2*b*x + 2*a)^2 + 2*(2*sin(10*b*x
+ 10*a) + sin(8*b*x + 8*a) - 4*sin(6*b*x + 6*a) + sin(4*b*x + 4*a) + 2*sin(2*b*x + 2*a))*sin(12*b*x + 12*a) -
sin(12*b*x + 12*a)^2 - 4*(sin(8*b*x + 8*a) - 4*sin(6*b*x + 6*a) + sin(4*b*x + 4*a) + 2*sin(2*b*x + 2*a))*sin(1
0*b*x + 10*a) - 4*sin(10*b*x + 10*a)^2 + 2*(4*sin(6*b*x + 6*a) - sin(4*b*x + 4*a) - 2*sin(2*b*x + 2*a))*sin(8*
b*x + 8*a) - sin(8*b*x + 8*a)^2 + 8*(sin(4*b*x + 4*a) + 2*sin(2*b*x + 2*a))*sin(6*b*x + 6*a) - 16*sin(6*b*x +
6*a)^2 - sin(4*b*x + 4*a)^2 - 4*sin(4*b*x + 4*a)*sin(2*b*x + 2*a) - 4*sin(2*b*x + 2*a)^2 + 4*cos(2*b*x + 2*a)
- 1)*log(cos(b*x)^2 + 2*cos(b*x)*cos(a) + cos(a)^2 + sin(b*x)^2 - 2*sin(b*x)*sin(a) + sin(a)^2) - 3*(2*(2*cos(
10*b*x + 10*a) + cos(8*b*x + 8*a) - 4*cos(6*b*x + 6*a) + cos(4*b*x + 4*a) + 2*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*cos(12*b*x
+ 12*a) - cos(12*b*x + 12*a)^2 - 4*(cos(8*b*x + 8*a) - 4*cos(6*b*x + 6*a) + cos(4*b*x + 4*a) + 2*cos(2*b*x +
2*a) - 1)*cos(10*b*x + 10*a) - 4*cos(10*b*x + 10*a)^2 + 2*(4*cos(6*b*x + 6*a) - cos(4*b*x + 4*a) - 2*cos(2*b*x
+ 2*a) + 1)*cos(8*b*x + 8*a) - cos(8*b*x + 8*a)^2 + 8*(cos(4*b*x + 4*a) + 2*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*cos(6*b*x +
6*a) - 16*cos(6*b*x + 6*a)^2 - 2*(2*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*cos(4*b*x + 4*a) - cos(4*b*x + 4*a)^2 - 4*cos(2*b*x
+ 2*a)^2 + 2*(2*sin(10*b*x + 10*a) + sin(8*b*x + 8*a) - 4*sin(6*b*x + 6*a) + sin(4*b*x + 4*a) + 2*sin(2*b*x +
2*a))*sin(12*b*x + 12*a) - sin(12*b*x + 12*a)^2 - 4*(sin(8*b*x + 8*a) - 4*sin(6*b*x + 6*a) + sin(4*b*x + 4*a)
+ 2*sin(2*b*x + 2*a))*sin(10*b*x + 10*a) - 4*sin(10*b*x + 10*a)^2 + 2*(4*sin(6*b*x + 6*a) - sin(4*b*x + 4*a)
- 2*sin(2*b*x + 2*a))*sin(8*b*x + 8*a) - sin(8*b*x + 8*a)^2 + 8*(sin(4*b*x + 4*a) + 2*sin(2*b*x + 2*a))*sin(6*
b*x + 6*a) - 16*sin(6*b*x + 6*a)^2 - sin(4*b*x + 4*a)^2 - 4*sin(4*b*x + 4*a)*sin(2*b*x + 2*a) - 4*sin(2*b*x +
2*a)^2 + 4*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*log(cos(b*x)^2 - 2*cos(b*x)*cos(a) + cos(a)^2 + sin(b*x)^2 + 2*sin(b*x)*sin(a
) + sin(a)^2) + 4*(3*sin(10*b*x + 10*a) - 6*sin(8*b*x + 8*a) - 2*sin(6*b*x + 6*a) - 6*sin(4*b*x + 4*a) + 3*sin
(2*b*x + 2*a))*sin(12*b*x + 12*a) + 4*(9*sin(8*b*x + 8*a) + 16*sin(6*b*x + 6*a) + 9*sin(4*b*x + 4*a) - 12*sin(
2*b*x + 2*a))*sin(10*b*x + 10*a) - 24*sin(10*b*x + 10*a)^2 - 4*(22*sin(6*b*x + 6*a) - 12*sin(4*b*x + 4*a) - 9*
sin(2*b*x + 2*a))*sin(8*b*x + 8*a) + 24*sin(8*b*x + 8*a)^2 - 8*(11*sin(4*b*x + 4*a) - 8*sin(2*b*x + 2*a))*sin(
6*b*x + 6*a) - 32*sin(6*b*x + 6*a)^2 + 24*sin(4*b*x + 4*a)^2 + 36*sin(4*b*x + 4*a)*sin(2*b*x + 2*a) - 24*sin(2
*b*x + 2*a)^2 + 12*cos(2*b*x + 2*a))/(b*cos(12*b*x + 12*a)^2 + 4*b*cos(10*b*x + 10*a)^2 + b*cos(8*b*x + 8*a)^2
+ 16*b*cos(6*b*x + 6*a)^2 + b*cos(4*b*x + 4*a)^2 + 4*b*cos(2*b*x + 2*a)^2 + b*sin(12*b*x + 12*a)^2 + 4*b*sin(
10*b*x + 10*a)^2 + b*sin(8*b*x + 8*a)^2 + 16*b*sin(6*b*x + 6*a)^2 + b*sin(4*b*x + 4*a)^2 + 4*b*sin(4*b*x + 4*a
)*sin(2*b*x + 2*a) + 4*b*sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*(2*b*cos(10*b*x + 10*a) + b*cos(8*b*x + 8*a) - 4*b*cos(6*b*x +
6*a) + b*cos(4*b*x + 4*a) + 2*b*cos(2*b*x + 2*a) - b)*cos(12*b*x + 12*a) + 4*(b*cos(8*b*x + 8*a) - 4*b*cos(6*
b*x + 6*a) + b*cos(4*b*x + 4*a) + 2*b*cos(2*b*x + 2*a) - b)*cos(10*b*x + 10*a) - 2*(4*b*cos(6*b*x + 6*a) - b*c
os(4*b*x + 4*a) - 2*b*cos(2*b*x + 2*a) + b)*cos(8*b*x + 8*a) - 8*(b*cos(4*b*x + 4*a) + 2*b*cos(2*b*x + 2*a) -
b)*cos(6*b*x + 6*a) + 2*(2*b*cos(2*b*x + 2*a) - b)*cos(4*b*x + 4*a) - 4*b*cos(2*b*x + 2*a) - 2*(2*b*sin(10*b*x
+ 10*a) + b*sin(8*b*x + 8*a) - 4*b*sin(6*b*x + 6*a) + b*sin(4*b*x + 4*a) + 2*b*sin(2*b*x + 2*a))*sin(12*b*x +
12*a) + 4*(b*sin(8*b*x + 8*a) - 4*b*sin(6*b*x + 6*a) + b*sin(4*b*x + 4*a) + 2*b*sin(2*b*x + 2*a))*sin(10*b*x
+ 10*a) - 2*(4*b*sin(6*b*x + 6*a) - b*sin(4*b*x + 4*a) - 2*b*sin(2*b*x + 2*a))*sin(8*b*x + 8*a) - 8*(b*sin(4*b
*x + 4*a) + 2*b*sin(2*b*x + 2*a))*sin(6*b*x + 6*a) + b)

________________________________________________________________________________________

mupad [B]  time = 0.22, size = 82, normalized size = 1.37 \[ \frac {3\,\ln \left ({\sin \left (a+b\,x\right )}^2\right )}{16\,b}-\frac {3\,\ln \left (\cos \left (a+b\,x\right )\right )}{8\,b}+\frac {\frac {3\,{\cos \left (a+b\,x\right )}^4}{16}-\frac {9\,{\cos \left (a+b\,x\right )}^2}{32}+\frac {1}{16}}{b\,\left ({\cos \left (a+b\,x\right )}^6-2\,{\cos \left (a+b\,x\right )}^4+{\cos \left (a+b\,x\right )}^2\right )} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(1/(sin(a + b*x)^2*sin(2*a + 2*b*x)^3),x)

[Out]

(3*log(sin(a + b*x)^2))/(16*b) - (3*log(cos(a + b*x)))/(8*b) + ((3*cos(a + b*x)^4)/16 - (9*cos(a + b*x)^2)/32
+ 1/16)/(b*(cos(a + b*x)^2 - 2*cos(a + b*x)^4 + cos(a + b*x)^6))

________________________________________________________________________________________

sympy [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int \csc ^{2}{\left (a + b x \right )} \csc ^{3}{\left (2 a + 2 b x \right )}\, dx \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csc(b*x+a)**2*csc(2*b*x+2*a)**3,x)

[Out]

Integral(csc(a + b*x)**2*csc(2*a + 2*b*x)**3, x)

________________________________________________________________________________________